[밑바닥부터 시작하는 딥러닝 1] chap5(오차역전파법)

 

 

5-1) 계산 그래프

• 계산 과정을 그래프로 나타낸 것

• 노드(node)/ 에지(edge): 노드 사이의 직선을 에지라고 부름

⇒ 순전파라고 함(왼쪽에서 오른쪽으로 진행)

국소적 계산

• 전체적으로 보면 복잡한 계산식이지만 파고들면 간단한 수식으로 이루어져 있는 ⇒ 국소적 계산이라고 함.( 전체 식은 개복잡 but, 안으로 들어가면 덧셈 뺄셈으로 이루어짐)

계산 그래프의 이점

• 국소적 계산

• 전체가 복잡해도 안에서는 간단하게 문제 단순화해서 풀 수 있음

• 중간 중간의 계산 결과 저장 가능

• 역전파를 통해 ‘미분’을 효율적으로 계산 가능

5-2) 연쇄 법칙

• 합성 함수의 미분에 대한 성질

• 합성 함수의 미분: 합성 함수를 구성하는 각 함수의 미분의 곱으로 나타낼 수 있다

5-3) 역전파

5-3-1) 덧셈 노드의 역전파

• 그냥 다음 노드로 출력함 (덧셈 함수의 경우, 미분하면 1이 되므로) ex) z= x+y

5-3-2) 곱셈 노드의 역전파

• 앞의 출력값 x 미분값

5-4) 단순 계층 구현

• 곱셈 계층

class MulLayer:     def __init__(self):         self.x = None         self.y = None      def forward(self, x, y):         self.x = x         self.y = y                         out = x * y          return out      def backward(self, dout):         dx = dout * self.y  # x와 y를 바꾼다.         dy = dout * self.x          return dx, dy

from layer_naive import *  apple = 100 apple_num = 2 tax = 1.1  # 계층들 mul_apple_layer = MulLayer() mul_tax_layer = MulLayer()  # 순전파 apple_price = mul_apple_layer.forward(apple,apple_num) price = mul_tax_layer.forward(apple_price,tax)  print(price) # 220  # 역전파 dprice = 1 dapple_price, dtax = mul_tax_layer.backward(dprice) dapple, dapple_num = mul_apple_layer.backward(dapple_price)  print(dapple, dapple_num, dtax) # 2.2 110 200

• 덧셈 계층

class AddLayer:     def __init__(self):         pass      def forward(self, x, y):         out = x + y          return out      def backward(self, dout):         dx = dout * 1         dy = dout * 1          return dx, dy

 

5-5) 활성화 함수 계층 구현(ReLU, Sigmoid)

• ReLU 계층

  

  

  class Relu:     def __init__(self):         self.mask = None      def forward(self, x):         self.mask = (x <= 0)         out = x.copy()         out[self.mask] = 0          return out      def backward(self, dout):         dout[self.mask] = 0         dx = dout          return dx

  • x가 0보다 크면 역전파의 경우, 상류 값을 하류로 그대로 전달

  • x가 0보다 작으면 0으로 전달

• Sigmoid 계층

  

  • 구체화 버전(식)

  

   

   

  • 간소화 버전

  

  

  • 역전파의 경우, 순전파 출력(y)만으로 구현 가능

    class Sigmoid:     def __init__(self):         self.out = None      def forward(self, x):         out = sigmoid(x) # 순전파의 출력을 out에 보관한 후 역전파 계산 때 그 값을 사용         self.out = out          return out      def backward(self, dout):         dx = dout * (1.0 - self.out) * self.out          return dx

5-6) Affine/Softmax 계층 구현

Affine 계층

• 순전파 때 수행하는 행렬의 곱: affine 변환

• 어파인 변환을 수행하는 처리: affine 계층이라고 칭함

• affine 계층의 역전파

 

배치용 Affine 계층

• 데이터 N개를 묶은 경우

class Affine:     def __init__(self, W, b):         self.W = W         self.b = b                  self.x = None         self.original_x_shape = None         # 가중치와 편향 매개변수의 미분         self.dW = None         self.db = None      def forward(self, x):         # 텐서 대응         self.original_x_shape = x.shape         x = x.reshape(x.shape[0], -1)         self.x = x          out = np.dot(self.x, self.W) + self.b          return out      def backward(self, dout):         dx = np.dot(dout, self.W.T)         self.dW = np.dot(self.x.T, dout)         self.db = np.sum(dout, axis=0)                  dx = dx.reshape(*self.original_x_shape)  # 입력 데이터 모양 변경(텐서 대응)         return dx

• 순전파의 편향 덧셈: 각 데이터에 편향이 더해짐

• 역전파의 편향: 데이터의 합을 구한 뒤 미분으로 편향 구함

Softmax-with-Loss 계층

• 소프트 맥수: 정규화, 출력층에서 사용, 출력합: 1

• 점수를 확률의 범위로 (0~1 사이로 정규화)

• but 추론할 때는 굳이 점수 중 높은 값을 고르면 되기에 확률로 변환해줄 필요가 없음 ⇒ 소프트 맥스 사용 안씀 (학습 시에는 사용)

• 출력값-정답값( softmax 계층의 출력과 정답 레이블의 차분을 의미)

• 신경망의 목표는 출력값이 정답과 가까워지도록 가중치 매개변수를 조정하는 것임.

• (출력-정답값) 이 오차가 앞 계층에 전달됨 ⇒ 오차를 효율적으로 앞 계층에 전달해야.

class SoftmaxWithLoss:     def __init__(self):         self.loss = None # 손실함수         self.y = None    # softmax의 출력         self.t = None    # 정답 레이블(원-핫 인코딩 형태)              def forward(self, x, t):         self.t = t         self.y = softmax(x)         self.loss = cross_entropy_error(self.y, self.t)                  return self.loss      def backward(self, dout=1):         batch_size = self.t.shape[0]         if self.t.size == self.y.size: # 정답 레이블이 원-핫 인코딩 형태일 때             dx = (self.y - self.t) / batch_size         else:             dx = self.y.copy()             dx[np.arange(batch_size), self.t] -= 1             dx = dx / batch_size                  return dx

 

5-7) 오차역전파법 구현

• 구현 단계

  • 전제: 가중치와 편향을 훈련 데이터에 적응하도록 조정하는 과정(=학습)

  1. 1단계- 미니배치
     • 무작위 데이터 산출(미니배치), 미니배치의 손실 함수 값을 줄이는 것이 목표

  2. 2단계- 기울기 산출
     • 손실함수 값을 줄이기 위해 각 가중치 매개변수의 기울기를 구함 ⇒ 손실함수 값 작도록 방향 제시

  3. 3단계- 매개변수 갱신
     • 기울기 방향으로 갱신

  4. 4단계- 1~3단계 반복
• 코드

  import sys, os sys.path.append(os.pardir)  # 부모 디렉터리의 파일을 가져올 수 있도록 설정 import numpy as np from common.layers import * from common.gradient import numerical_gradient from collections import OrderedDict   class TwoLayerNet:      def __init__(self, input_size, hidden_size, output_size, weight_init_std = 0.01):         # 가중치 초기화         self.params = {}         self.params['W1'] = weight_init_std * np.random.randn(input_size, hidden_size)         self.params['b1'] = np.zeros(hidden_size)         self.params['W2'] = weight_init_std * np.random.randn(hidden_size, output_size)          self.params['b2'] = np.zeros(output_size)          # 계층 생성         self.layers = OrderedDict() #값 저장(역전파 때 input 바꿔서 계산하기 때문!)         self.layers['Affine1'] = Affine(self.params['W1'], self.params['b1'])         self.layers['Relu1'] = Relu()         self.layers['Affine2'] = Affine(self.params['W2'], self.params['b2'])          self.lastLayer = SoftmaxWithLoss()              def predict(self, x):         for layer in self.layers.values():             x = layer.forward(x)                  return x              # x : 입력 데이터, t : 정답 레이블     def loss(self, x, t):         y = self.predict(x)         return self.lastLayer.forward(y, t)          def accuracy(self, x, t):         y = self.predict(x)         y = np.argmax(y, axis=1)         if t.ndim != 1 : t = np.argmax(t, axis=1)                  accuracy = np.sum(y == t) / float(x.shape[0])         return accuracy              # x : 입력 데이터, t : 정답 레이블     def numerical_gradient(self, x, t):         loss_W = lambda W: self.loss(x, t)                  grads = {}         grads['W1'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['W1'])         grads['b1'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['b1'])         grads['W2'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['W2'])         grads['b2'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['b2'])                  return grads              def gradient(self, x, t):         # forward         self.loss(x, t)          # backward         dout = 1         dout = self.lastLayer.backward(dout)                  layers = list(self.layers.values())         layers.reverse()         for layer in layers:             dout = layer.backward(dout)          # 결과 저장         grads = {}         grads['W1'], grads['b1'] = self.layers['Affine1'].dW, self.layers['Affine1'].db         grads['W2'], grads['b2'] = self.layers['Affine2'].dW, self.layers['Affine2'].db          return grads

• 기울기 검증하기

  • 수치 미분 vs (해석적 수식)오차역전파법

  • 수치미분과 오차역전파법의 결과를 비교 ⇒ 오차역전파법을 제대로 구현했는가에 대한 검증 ⇒ 기울기 확인

  import sys, os sys.path.append(os.pardir)  # 부모 디렉터리의 파일을 가져올 수 있도록 설정 import numpy as np from dataset.mnist import load_mnist from two_layer_net import TwoLayerNet  # 데이터 읽기 (x_train, t_train), (x_test, t_test) = load_mnist(normalize=True, one_hot_label=True)  network = TwoLayerNet(input_size=784, hidden_size=50, output_size=10)  x_batch = x_train[:3] t_batch = t_train[:3]  grad_numerical = network.numerical_gradient(x_batch, t_batch) grad_backprop = network.gradient(x_batch, t_batch)  # 각 가중치의 절대 오차의 평균을 구한다. for key in grad_numerical.keys():     diff = np.average( np.abs(grad_backprop[key] - grad_numerical[key]) )     print(key + ":" + str(diff))